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xy平面において，x座標，y座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点にもつ三角形ABCを考える． (1)辺AB，ACそれぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると，辺BC上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ． (2)辺AB，AC上に両端を除いて丁度3点ずつ格子点が存在するとすると，三角形ABCの面積は8で割り切れる整数であることを示せ． 線分上の格子点の数は両端を除いて数えるものとする． 両端が格子点であるような線分PQを考える． PQの中点をMとおく．線分PM上の格子点Rに対し，となるよう点Sをとるとこれは線分MQ上の格子点である． これより，(線分PM上の格子点の数)≦(線分MQ上の格子点の数)． 同様に逆向きの不等号も成立するから線分PM上の格子点の数と線分MQ上の格子点の数は等しい． したがってPQ上に格子点が奇数個あることとMが格子点であることは同値である． (1) BCの中点はと書けるが， AB,AC上にそれぞれ奇数個の格子点があるとき，AB,ACの中点，Aがそれぞれ格子点であることから右辺の成分はいずれも整数． したがってBCの中点も格子点となる．つまりBC上にも格子点が奇数個ある． (2) AB上には格子点が3個あるので中点も格子点，この中点とAの中点(ABを1 3に内分する点)Dも格子点となる． 同様に，ACを1 3に内分する点Eも格子点である． ,とおくと，k,l,m,nは整数で，△ADEの面積はとなる． △ABCの面積は△ADEの面積の16倍なので，△ABCの面積はとなるがこれは8の倍数である．
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点Oを中心とする半径1の円Cに含まれる2つの円を考える．ただしの中心はCの直径AB上にあり，は点Aで，は点BでそれぞれCと接している．また，の半径をそれぞれa,bとする．C上の点Pからに1本ずつ接線を引き，それらの接点をQ,Rとする． (1)∠POA=θとするとき，PQはθによってどのように表せるか． (2)PをC上で動かしたときのPQ+PRの最大値を求めよ． (1) の中心をSとおくと，∠POS=∠POA=θであり，PO=1，OS=1-aなので， 余弦定理より． また，∠PQS=なのでであり， よりだから． (2) ∠POB=π-∠POAなので，(1)と同様にとなる． ここで，となるようなφが存在する． そのようなφを用いるとと表せる． の範囲よりよりとなる場合があり，このときPQ+PRは最大値をとる．
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θはの範囲の角とする． (1) sin3θ=sin2θを満たすθを求めよ． (2) m,nを0以上の整数とする．θについての方程式が解を持つときの(m,n)と，そのときのθの値を求めよ． (1) であるから，sin3θ=sin2θのとき3θ=π-2θ．つまり． (2) ，を代入して( 0)で割ると つまり． この左辺をf(cosθ)とおく．f(x)は下に凸であり，f(0)=-n-1 0なのでf(x)=0が0 x 1で解を持つことはf(1) 0であることと同値． f(1)=3-2m-nであるから，(m,n)=(1,0),(0,0),(0,1),(0,2)のときに解を持つ． (i)(m,n)=(1,0)のとき (1)より． (ii)(m,n)=(0,0)のとき sin3θ=0より． (iii)(m,n)=(0,1)のとき なのでつまり． (iv)(m,n)=(0,2)のとき なのでつまり．
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不等式がすべての実数について成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ． cosθ=xとおく．-1≦x≦1でが成立する(a,b)の条件を求めれば良い． とおく． ． (i)a 0かつのとき f(x)の最大値はであり，これが1未満であることが条件． 整理するとであり， これは長さ1の短軸がa軸上に，長さの長軸が上にある楕円の内部． また，この楕円との交点は(0,0)と． (ii) (i)以外のとき f(x)の最大値はmax{f(-1),f(1)}=max{a+b,a-b}．これより求める条件はa+b 1かつa-b 1． また，直線a±b=1との交点は． (i)(ii)を合わせると， 求める領域は，楕円のの部分と，直線a±b=1のの部分で囲まれる領域．(図省略)
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座標平面の原点をOとし，,とする．また，α，βは2つの実数とする．任意の点Pに対し，ベクトルのへの正射影を(すなわち点はPからOとAを通る直線へおろした垂線の足)，のへの正射影をとし，1次変換ををによって定める． 1次変換gがどのようなα，βに対しても(は変換の合成を表す)となるための必要十分条件は，あるα ，β に対してとなることである．これを証明せよ． 必要性 α=1，β=0，P=Bを代入して . これが成立するには，ある実数β が存在してと書けることが必要． 同様にある実数α が存在してと書けることも必要． このとき，任意の点Pはある実数s,tが存在しと書け， となる(∵)． 従ってとなるので． 十分性 のとき， ． 同様になので，．
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3辺の長さがaとbとcの直方体を，長さがbの一辺を回転軸として90°回転させるとき， 直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする． (1) Vの体積をa,b,cを用いて表せ． (2) a+b+c=1のとき，Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ． (1) (2) a+c=x,|a-c|=yとおくと，0≦y x 1であり，体積V(x,y)は なので (等号成立は) V(x,y)はx,yの連続関数であるから，求める範囲は
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xの関数f(x)の導関数f (x)および二次導関数f"(x)が存在して，つぎの3条件をみたしている． (i) f(0) 0 (ii) f (0) 0 (iii) 0≦x≦1の範囲で，つねにf"(x) f(x) このとき0≦x≦1の範囲で，つねにf(x) 0であることを示せ． 「0≦x≦1の範囲で，つねにf(x) 0である」が満たされないと仮定して矛盾を導く． 0≦x aの範囲でつねにf(x) 0，f(a)≦0となるようなa(0 a≦1)が存在する． 平均値の定理よりaf (b)=f(a)-f(0) 0を満たすb(0 b a)が存在しf (b) 0． 同様にbf"(c)=f (b)-f (0) 0 を満たすc(0 c b)が存在しf"(c) 0． このとき，0 f"(c) f(c)となるが，c aよりf(c) 0なので矛盾．
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